Suites récurrentes en L1 maths : convergence et exercice corrigé

LICENCE MATHÉMATIQUES · COURS ET EXERCICE

Calculer quelques termes permet de conjecturer le comportement d’une suite, mais ne démontre pas sa convergence. En L1 mathématiques, une étude de suite récurrente doit articuler définition, encadrement, monotonie et passage à la limite. Voici une méthode complète sur un exemple classique.

1. L’énoncé et la première conjecture

On définit u₀ = 0 et, pour tout entier n ≥ 0, u_n+1 = √(2 + u_n). On cherche à déterminer si la suite converge et, si oui, vers quelle limite.

Les premiers termes valent 0, √2, puis √(2 + √2). Ils suggèrent une croissance vers 2. Cette observation fournit une piste, pas une preuve : un calcul numérique peut masquer un changement de comportement plus loin.

2. Prouver que la suite est bien définie et bornée

Montrons par récurrence que 0 ≤ u_n ≤ 2. La propriété est vraie au rang 0. Supposons-la vraie au rang n. Alors 2 ≤ 2 + u_n ≤ 4 ; la racine carrée est définie et donne √2 ≤ u_n+1 ≤ 2.

L’hérédité est établie. Tous les termes appartiennent à [0, 2], intervalle stable par la fonction f(x) = √(2 + x). L’argument prouve à la fois l’existence de chaque terme et l’encadrement nécessaire à la suite de l’étude.

3. Établir la monotonie

Sur [0, 2], les deux nombres √(2 + x) et x sont positifs. On peut donc comparer leurs carrés. L’inégalité √(2 + x) ≥ x équivaut à 2 + x ≥ x², soit (x − 2)(x + 1) ≤ 0. Elle est vraie sur l’intervalle considéré.

En remplaçant x par u_n, on obtient u_n+1 ≥ u_n. La suite est croissante. Attention : élever au carré une inégalité sans contrôler les signes peut conduire à un raisonnement incorrect.

4. Justifier la convergence avant de chercher la limite

Une suite réelle croissante et majorée converge. Comme notre suite est croissante et majorée par 2, elle admet une limite ℓ dans [0, 2]. La continuité de x ↦ √(2 + x) sur cet intervalle autorise le passage à la limite dans la relation de récurrence.

ℓ = √(2 + ℓ), donc ℓ² − ℓ − 2 = 0.

Les solutions algébriques sont 2 et −1. L’encadrement ℓ ∈ [0, 2] élimine −1. On conclut donc que u_n tend vers 2.

5. Pourquoi l’équation de point fixe ne suffit pas

Résoudre ℓ = f(ℓ) ne démontre pas qu’une suite converge. Cela donne seulement des limites possibles, lorsque le passage à la limite est justifié. Par exemple, la suite définie par v₀ = 1 et v_n+1 = −v_n alterne entre 1 et −1. La fonction possède pourtant le point fixe 0.

Cette distinction est essentielle : une condition nécessaire n’est pas automatiquement suffisante. L’argument de convergence doit apparaître avant l’identification de la limite.

Exercice de prolongement corrigé

On remplace la relation par w_n+1 = (w_n + 2) / 2, avec w₀ = 0. Posons e_n = 2 − w_n. Alors e_n+1 = e_n / 2, d’où e_n = 2 / 2ⁿ. Ainsi w_n = 2 − 2 / 2ⁿ et la limite vaut encore 2. Cette fois, une expression explicite donne directement la convergence.