LICENCE MATHÉMATIQUES · COURS ET EXERCICE
Une limite de forme indéterminée ne se résout pas toujours par une substitution directe. Les développements limités remplacent localement une fonction par un polynôme et un reste contrôlé. En L1 maths, la difficulté consiste surtout à choisir le bon ordre et à ne pas perdre l’information du reste.
1. Ce que signifie un développement limité
Écrire f(x) = a0 + a1x + … + anxn + o(xn) lorsque x tend vers 0 signifie que l’erreur divisée par xn tend vers 0. Le symbole petit o décrit donc une négligeabilité asymptotique.
Il ne désigne ni un nombre fixe ni une erreur que l’on peut supprimer sans condition. L’égalité est locale, au voisinage du point étudié, et non valable comme une identité polynomiale pour tout x.
2. Quelques développements à connaître
| Fonction | Développement lorsque x → 0 |
|---|---|
| exp(x) | 1 + x + x²/2 + x³/6 + o(x³) |
| sin(x) | x − x³/6 + o(x³) |
| cos(x) | 1 − x²/2 + o(x²) |
| ln(1 + x) | x − x²/2 + x³/3 + o(x³) |
| 1/(1 + x) | 1 − x + x² + o(x²) |
Pour le logarithme, on reste dans son domaine : 1 + x doit être strictement positif. Au voisinage de zéro, cette condition est satisfaite pour x suffisamment proche de 0.
3. Premier calcul corrigé
Calculons la limite de (exp(x) − 1 − x) / x² lorsque x tend vers 0. Le numérateur annule les termes d’ordre 0 et 1. Il faut donc conserver le terme quadratique :
exp(x) − 1 − x = x²/2 + o(x²).
En divisant par x² pour x non nul, le quotient devient 1/2 + o(1). Sa limite est donc 1/2. Utiliser seulement exp(x) = 1 + x + o(x) n’aurait pas donné assez d’information.
4. Deuxième calcul : anticiper une annulation
Étudions (sin(x) − x) / x³. Le développement d’ordre 3 donne sin(x) − x = −x³/6 + o(x³). La limite est donc −1/6.
Le réflexe consiste à regarder le dénominateur et les annulations prévues au numérateur. On développe suffisamment loin pour faire apparaître le premier terme non nul utile, sans multiplier inutilement les calculs.
5. Composer et multiplier
Pour ln(1 + x²), pose t = x² dans le développement du logarithme : ln(1 + x²) = x² − x⁴/2 + o(x⁴). L’ordre en x n’est plus l’ordre en t. Cette conversion doit être suivie explicitement.
Pour le produit exp(x)cos(x) à l’ordre 2, on multiplie (1 + x + x²/2 + o(x²)) par (1 − x²/2 + o(x²)). Les termes quadratiques se compensent, et l’on obtient 1 + x + o(x²). On conserve uniquement les termes de degré utile.
6. Les erreurs fréquentes
- Soustraire des équivalents comme s’ils étaient des égalités précises.
- Diviser un reste par une puissance sans ajuster son ordre.
- Oublier le point vers lequel tend la variable.
- Confondre approximation locale et formule exacte.
Un équivalent est particulièrement délicat dans une différence où les termes dominants s’annulent. Le développement limité rend justement visibles les termes suivants. Pour vérifier une copie, réécris le quotient final sous la forme constante + terme qui tend vers zéro.