Pivot de Gauss en L1 maths : résoudre un système pas à pas

LICENCE MATHÉMATIQUES · COURS ET EXERCICE

Le pivot de Gauss transforme un système linéaire en un système plus facile à résoudre, tout en conservant ses solutions. En L1 mathématiques, la méthode permet aussi de reconnaître un système impossible ou possédant plusieurs solutions. L’essentiel est de maîtriser les opérations sur les lignes et de vérifier le résultat obtenu.

1. Les opérations qui conservent les solutions

On peut échanger deux équations, multiplier une équation par un scalaire non nul ou ajouter à une équation un multiple d’une autre. Ces transformations sont réversibles : elles ne changent pas l’ensemble des solutions.

La condition « non nul » est importante. Multiplier une ligne par zéro supprimerait une contrainte. Si un coefficient dépend d’un paramètre, on ne divise pas par ce coefficient avant d’avoir discuté les valeurs pour lesquelles il s’annule.

2. Le système à résoudre

Considérons trois inconnues réelles x, y et z et les équations suivantes :

Le coefficient de x dans L1 vaut 1 : c’est un pivot commode. On l’utilise pour supprimer x des deux autres équations. Il n’est pas nécessaire d’introduire des fractions dès le début.

3. Éliminer la première inconnue

Effectuons L2 ← L2 − 2L1. On obtient −3y − z = −9. Effectuons ensuite L3 ← L3 − L1. On obtient y − 2z = −4.

Le système équivalent contient maintenant L1, puis ces deux nouvelles lignes. Pour simplifier la suite, on peut échanger les deux dernières lignes et utiliser le coefficient 1 de y comme pivot.

4. Éliminer la deuxième inconnue

On dispose de y − 2z = −4 et de −3y − z = −9. En ajoutant trois fois la première de ces équations à la seconde, on obtient −7z = −21. Ainsi z = 3.

On remonte ensuite : y − 6 = −4 donne y = 2. Enfin, x + 2 + 3 = 6 donne x = 1. La solution est donc le triplet (1, 2, 3).

5. Vérifier dans le système initial

La première équation donne 1 + 2 + 3 = 6. La deuxième donne 2 − 2 + 3 = 3. La troisième donne 1 + 4 − 3 = 2. Les trois égalités sont vérifiées.

Ce contrôle doit porter sur les équations initiales, pas seulement sur les dernières lignes transformées. Une erreur de signe commise au début pourrait sinon rester invisible jusqu’à la fin.

6. Reconnaître les autres situations

Une ligne de la forme 0 = 5 révèle une incompatibilité : le système n’a aucune solution. Une ligne 0 = 0 n’impose aucune contrainte supplémentaire. Si des inconnues ne correspondent à aucun pivot et qu’il n’y a pas de contradiction, on les choisit comme paramètres libres.

Par exemple, x + y = 2 et 2x + 2y = 4 représentent la même contrainte. Les solutions sont (2 − t, t), pour tout réel t. Le système possède une infinité de solutions ; choisir seulement x = 1 et y = 1 ne décrit pas tout cet ensemble.

Une rédaction claire en partiel

Indique l’opération à chaque étape, garde le même ordre d’inconnues et sépare élimination et remontée. Termine par l’ensemble des solutions et une vérification rapide. La méthode vaut aussi pour étudier le rang d’une matrice, mais la conclusion doit toujours répondre à la question exacte de l’énoncé.