LICENCE MATHÉMATIQUES · COURS ET EXERCICE
Diagonaliser une matrice consiste à choisir une base dans laquelle l’application linéaire agit séparément sur chaque direction de base. Cette méthode simplifie notamment le calcul des puissances. En licence de mathématiques, elle exige de distinguer valeur propre, vecteur propre et base de vecteurs propres.
1. Les définitions essentielles
Pour une matrice carrée A, un scalaire λ est une valeur propre s’il existe un vecteur non nul v tel que Av = λv. Le vecteur v est alors un vecteur propre associé. Le vecteur nul est exclu de cette définition, sinon tout scalaire conviendrait.
L’ensemble des vecteurs vérifiant Av = λv, auquel on ajoute le vecteur nul, est le sous-espace propre ker(A − λI). Une matrice est diagonalisable sur un corps donné si l’espace possède une base formée de vecteurs propres de cette matrice.
2. Calculer les valeurs propres
Étudions la matrice réelle A dont les lignes sont (2, 1) et (1, 2). On calcule :
det(A − λI) = (2 − λ)² − 1 = (λ − 1)(λ − 3).
Les valeurs propres sont 1 et 3. Une matrice réelle 2 × 2 ayant deux valeurs propres réelles distinctes est diagonalisable sur ℝ. Il reste à construire une base adaptée pour effectuer le changement de coordonnées.
3. Trouver les vecteurs propres
Pour λ = 1, l’équation (A − I)v = 0 donne x + y = 0. Le sous-espace propre est engendré par v1 = (1, −1).
Pour λ = 3, l’équation (A − 3I)v = 0 donne −x + y = 0. Le sous-espace propre est engendré par v2 = (1, 1). Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires et forment une base de ℝ².
4. Construire P et D dans le même ordre
On place les vecteurs propres en colonnes de P. Avec v1 puis v2, les lignes de P sont (1, 1) et (−1, 1). La matrice diagonale D porte alors 1 puis 3 sur sa diagonale.
Le déterminant de P vaut 2, donc P est inversible. Les lignes de P−1 sont (1/2, −1/2) et (1/2, 1/2). L’égalité AP = PD exprime que chaque colonne de P est un vecteur propre associé à l’entrée correspondante de D.
A = PDP−1, ou de façon équivalente D = P−1AP.
Une erreur fréquente consiste à échanger les valeurs propres dans D sans échanger les colonnes de P. L’ordre doit rester cohérent.
5. Application : calculer une puissance
Pour tout entier n ≥ 0, An = PDnP−1. La diagonale de Dn contient 1 et 3n. On en déduit que les lignes de An sont :
((1 + 3n)/2, (3n − 1)/2)
((3n − 1)/2, (1 + 3n)/2).
Au rang n = 1, on retrouve A. Au rang n = 0, on retrouve l’identité. Ces deux contrôles simples détectent une inversion de signe ou un oubli de facteur.
6. Une valeur propre multiple ne suffit pas
La matrice dont les lignes sont (1, 1) et (0, 1) possède seulement la valeur propre 1, de multiplicité algébrique 2. Son sous-espace propre est cependant de dimension 1 : elle n’est pas diagonalisable. En présence de racines multiples, il faut donc calculer les dimensions des sous-espaces propres.
Précise enfin le corps de travail. Une matrice peut être diagonalisable sur ℂ sans l’être sur ℝ. La factorisation du polynôme caractéristique et la construction de la base dépendent de cette précision.