Intégration par parties en L1 maths : méthode et exercices corrigés

LICENCE MATHÉMATIQUES · COURS ET EXERCICE

L’intégration par parties permet de transformer une intégrale de produit en une autre, plus simple à calculer. Elle est particulièrement utile lorsqu’une dérivation simplifie un facteur, comme un polynôme ou un logarithme. En L1 maths, le choix des fonctions et la gestion des bornes font l’essentiel de la difficulté.

1. La formule et ses conditions

Pour deux fonctions u et v de classe C¹ sur un segment [a, b], la formule s’écrit :

∫_a^b u(x)v′(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b − ∫_a^b u′(x)v(x) dx.

Elle vient de la dérivée d’un produit : (uv)′ = u′v + uv′. Le crochet signifie u(b)v(b) − u(a)v(a). Il faut donc conserver les deux bornes et le signe moins devant la seconde intégrale.

2. Choisir ce que l’on dérive

On cherche généralement à dériver le facteur qui se simplifie et à intégrer celui dont une primitive est connue. Dans x exp(x), dériver x donne 1, tandis qu’intégrer exp(x) ne complique pas l’expression.

Ce choix est un guide, pas une règle automatique. Avant de lancer le calcul, regarde la nouvelle intégrale obtenue. Si elle est plus difficile que celle de départ, un autre choix ou une autre méthode peut être préférable.

3. Premier exercice corrigé

Calculons I = ∫₀¹ x exp(x) dx. On pose u(x) = x et v′(x) = exp(x), d’où u′(x) = 1 et v(x) = exp(x).

Alors I = [x exp(x)]₀¹ − ∫₀¹ exp(x) dx. Le premier terme vaut e et le second e − 1. On obtient I = 1.

Une vérification consiste à dériver la primitive (x − 1)exp(x). Sa dérivée est exp(x) + (x − 1)exp(x) = x exp(x). Aux bornes, elle donne 0 − (−1) = 1.

4. Deuxième exercice : intégrer un logarithme

Calculons J = ∫₁^e ln(x) dx. On écrit ln(x) comme ln(x) × 1 et on choisit u(x) = ln(x), v′(x) = 1. Sur [1, e], ces fonctions satisfont les conditions requises.

On a u′(x) = 1/x et v(x) = x. Ainsi J = [x ln(x)]₁^e − ∫₁^e 1 dx = e − (e − 1). Finalement, J = 1.

Le choix inverse conduirait à chercher une primitive du logarithme, précisément ce que l’on veut établir. Repérer cette circularité aide à sélectionner les bons facteurs.

5. Quand répéter la méthode

Pour intégrer x² exp(x), on choisit d’abord u = x². La nouvelle intégrale contient 2x exp(x), qui se traite par une seconde intégration par parties. Chaque dérivation abaisse le degré du polynôme.

On trouve une primitive exp(x)(x² − 2x + 2). Pour le contrôle, dérive le produit et simplifie : les termes en x et les constantes se compensent, laissant x² exp(x).

Les erreurs à repérer

• Oublier le signe moins de la formule.
• Confondre v avec v′.
• Évaluer le crochet seulement à la borne supérieure.
• Appliquer la formule sans précaution à une borne singulière.

Si une intégrale est impropre, par exemple avec ln(x) près de zéro, on travaille d’abord sur un intervalle tronqué puis on étudie une limite. Les calculs sur un segment régulier ne justifient pas à eux seuls le passage à une borne où la fonction n’est pas définie.