LICENCE AES · COURS ET APPLICATION
Deux groupes peuvent avoir la même moyenne tout en présentant des situations très différentes. En statistiques de licence AES, il faut associer un indicateur de position à un indicateur de dispersion. Voici comment choisir les bons calculs et les interpréter dans une copie.
1. La moyenne : répartir un total
Pour n observations, la moyenne arithmétique est la somme des valeurs divisée par n. Si une valeur apparaît plusieurs fois, on peut la pondérer par son effectif : moyenne = somme des produits valeur × effectif / effectif total.
La moyenne conserve le total de la série : si toutes les observations prenaient la valeur moyenne, leur somme resterait identique. Elle est cependant sensible aux valeurs extrêmes. Cette propriété n’est pas un défaut en soi ; elle indique ce que l’on mesure.
2. La médiane : partager une série ordonnée
Il faut d’abord ranger les observations dans l’ordre croissant. Avec un nombre impair d’observations, la médiane est la valeur centrale. Avec un nombre pair, on retient usuellement, pour une série numérique simple, la moyenne des deux valeurs centrales.
La médiane partage la série de telle sorte qu’au moins la moitié des observations lui soient inférieures ou égales et au moins la moitié supérieures ou égales. Elle ne signifie pas que chaque valeur est proche du centre.
3. Exercice corrigé sur les durées de trajet
Cinq étudiants fictifs mettent respectivement 10, 15, 20, 25 et 80 minutes pour rejoindre leur lieu d’études. La moyenne vaut (10 + 15 + 20 + 25 + 80) / 5 = 30 minutes. La médiane est 20 minutes, troisième valeur de la série ordonnée.
Le trajet de 80 minutes tire la moyenne vers le haut. Si l’on cherche la durée centrale dans le groupe, la médiane est informative. Si l’on veut calculer le temps total de déplacement, la moyenne est directement utile : 5 × 30 = 150 minutes.
4. Mesurer la dispersion
L’étendue vaut maximum − minimum, soit 80 − 10 = 70 minutes. Elle est simple à calculer, mais ne dépend que des deux valeurs extrêmes.
Pour décrire cette série complète, la variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Les écarts sont −20, −15, −10, −5 et 50 ; leurs carrés valent 400, 225, 100, 25 et 2 500. La variance est donc 3 250 / 5 = 650 minutes carrées.
L’écart-type est la racine carrée de la variance : √650 ≈ 25,50 minutes. Il retrouve l’unité des observations. Attention à ne pas confondre cette variance descriptive, divisée par n, avec l’estimateur corrigé d’une variance de population, souvent divisé par n − 1 dans un autre contexte.
5. Construire un commentaire utile
Une réponse complète annonce le centre, précise la dispersion et commente la forme de la série. Ici, les durées sont concentrées entre 10 et 25 minutes pour quatre étudiants, mais un trajet nettement plus long crée une forte dissymétrie.
Dire que chaque étudiant met environ 30 minutes serait trompeur : aucun n’a cette durée. L’indicateur résume un ensemble ; il ne décrit pas forcément un individu représentatif.
Mini-question de contrôle
Si tous les trajets augmentent de 5 minutes, la moyenne et la médiane augmentent de 5 minutes. L’étendue, la variance et l’écart-type restent inchangés, car les écarts entre les observations ne changent pas. Si toutes les durées sont multipliées par deux, l’écart-type double et la variance est multipliée par quatre.